O początkach istnienia szkoły podstawowej w Kończycach Małych wiele nie wiadomo, gdyż wszelkie dokumenty zaginęły, a ocalałe luźne, pojedyncze karty kroniki szkolnej mówią dopiero o szkole wybudowanej w 1832r. Przypuszcza się, że szkoła we wsi Kończyce Małe istniała już od 1713r. Nie wiadomo jednak kto nią kierował i jak uczył. Z ustnych przekazów mieszkańców wynika, że pierwsza szkoła na tutejszym terenie została zbudowana na gruncie gospodarza Postułki. Była ona drewniana, jednoizbowa. W 1831r. wybudowano drugi, obszerniejszy budynek, który mieścił jedną klasę i mieszkanie dla nauczyciela.
Na skutek zwiększania się liczby dzieci szkolnych w latach 1872- 1873 wybudowano trzecią szkołę, w której to naukę prowadzono do 1904r. Dane z roku 1878 mówią, że uczęszczało do dwóch klas 200 dzieci, a sama wieś liczyła 191 budynków mieszkalnych z 1290 mieszkańcami. Prawdopodobnie po 1869r. (po wydaniu ustawy szkolnej państwowej), kiedy to wprowadzano na Śląsku j. polski do szkół ludowych, język ten został również wprowadzony do tutejszej szkoły obok j. niemieckiego. Pierwszego grudnia 1904r. oddano do użytku czwartą z kolei szkołę. Do istniejącego już budynku dobudowano budynek jednopiętrowy, który był wyposażony w cztery klasy. W dniu otwarcia szkoły zapisanych było 269 uczniów (154 chłopców i 115 dziewcząt). Zatrudnionych było trzech etatowych nauczycieli. W 1906r. placówkę tą przekształcono w szkołę czteroklasową z 4 etatami nauczycielskimi jedną siłą roboczą. W 1919r. budynek szkolny uległ poważnemu zniszczeniu na skutek krótkotrwałej wojny czesko – polskiej. Od 1922r. praca szkolna toczyła się już w normalnych warunkach. Do szkoły przybywali nauczyciele wykształceni i z dużym doświadczeniem pedagogicznym. Taki stan trwał do letnich wakacji 1939r. Po 1 września wszyscy uczący w tej szkole zostali ewakuowani. W 1940r. w kwietniu aresztowano i wywieziono do obozu koncentracyjnego w Oświęcimiu miejscowego nauczyciela p. Karola Marosza. W okresie hitlerowskiej okupacji szkoła przeszła pod zarząd niemieckiej administracji. Był to okres prób germanizacji i niszczenia wszystkiego co polskie, aczkolwiek miejscowa ludność była rdzennie polska. Nauka w szkole niemieckiej trwała do stycznia 1945r. W tym czasie nie wznowiono już nauki niemieckiej, bowiem z uwagi na ruszający front w kierunku południowo – zachodnim część mieszkańców Kończyc Małych została ewakuowana. W czasie walk frontowych budynek szkolny bardzo ucierpiał.
W maju 1945r. rodzice pod kierownictwem nauczyciela Karola Chmiela przystąpili do jego odbudowy. I tak pierwsze zajęcia odbyły się 2 czerwca 1945r. Nowy rok szkolny rozpoczął się 1 września 1945r. z udziałem 180 uczniów i 6 nauczycieli. Z biegiem lat przybywało uczniów, szkoła stawała się przez to ciasną. Z tego to powodu narodził się projekt budowy nowej szkoły. Prace przygotowawcze trwały od 1953 do 1956r. Budowę szkoły rozpoczęto 4 czerwca 1958r. a ukończono 15 listopada 1960r. Uroczyste przekazanie szkoły nastąpiło 27 listopada 1960r. Decyzją ówczesnych władz, szkoła jako setny Pomnik 1000 -lecia Państwa Polskiego przybrała imię Jarosława Dąbrowskiego. Budowniczym i pierwszym kierownikiem szkoły był Florian Szczypka. W nowym budynku powstało 11 sal lekcyjnych, 3 pracownie przedmiotowe, sala gimnastyczna, kuchnia, świetlica szkolna, kancelaria i pokój nauczycielski, gabinet stomatologiczny oraz kotłownia centralnego ogrzewania. W tym czasie do szkoły uczęszczało blisko 300 uczniów. Grono nauczycielskie liczyło 13 osób. Z dniem 1 września 1975r. szkoła została wytypowana jako Zbiorcza Szkoła Gminna dla gminy Zebrzydowice z jednoczesną obsługą administracyjno – finansową dla podległych placówek. Z chwilą powołania inspektorów oświaty i wychowania przy Urzędach Gminnych w roku 1985 placówka powróciła do swoich normalnych funkcji ?oświatowo – wychowawczych jako 8 – letnia szkoła podstawowa. Od 1999 roku stała się 6-klasową szkołą podstawową.
